[KOCW 선형대수] 17강. 판별식의 응용

제 17강. 판별식의 응용

Determinant of Am×n${}_{}$

(1) Gauss Elimination A−>U$$

det(A)$$ = Products of pivots

row exchange 할 때마다, 부호가 바뀜

-1에 {number of row exchange} 승 만큼 붙음

∏ni=1Pi$\underset{\mathrm{}}{\overset{}{}}{}_{}$ 이 식과 곱해짐

(2) Big formula

생각할 수 있는 모든 Permutation 조합들을 구하고 곱하고, 더하는 것

(a1α,a2β)${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$

(4) Cofactor

Focus on one row !

det(A)=∑nj=1aijCij$\underset{\mathrm{}}{\overset{}{}}{}_{}{}_{}$

C$$는 aij${}_{}$의 행, 열을 제외한 minor matrix이다.

Cij=(−1)i+jdetMij${}_{}\mathrm{}{}^{}{}_{}$

따라서 다음과 같다.

det(A)=∑nj=1aij(−1)i+jdetMij$\underset{\mathrm{}}{\overset{}{}}{}_{}\mathrm{}{}^{}{}_{}$

Determinant Applications

(1) 주로 Cofactor와 관련이 있다.

ℂ$\mathbb{}$= Cofactor matrix

ℂ$\mathbb{}$는 Cij${}_{}$로 이루어진 Matrix이다.

A−1=ℂTdet(A)$${}^{\mathrm{}}\frac{{\mathbb{}}^{}}{}$$

위 식을 정리하면 다음과 같다. ( det(A)넘기고 양변에 A곱하고 )

(det(A))I=AℂT$${\mathbb{}}^{}$$

A$$ 는 aij${}_{}$로 이루어져있다.

두 개의 행이 같으면 det$$는 0이다.

대각성분 말고 다른 성분을 계산할 때, 예를 들어, 위의 두 개의 행이 같아지는 모습이 보인다.

이와 같을 때는 det$$가 0이다.

대각 성분의 경우 앞선 Cofactor의 조합과 같기 때문에 det(A)$$로 보여진다.

(2) Ax=b$$ , x=A−1b${}^{\mathrm{}}$

Cramer's Rule

xi=det(Bi)det(A)${}_{}\frac{{}_{}}{}$

B$$는 I번째에 해당하는 column vector를 벡터 b를 넣어준다. (나머지는 다 a성분 )

A−1b=ℂTbdet(A)$${}^{\mathrm{}}\frac{{\mathbb{}}^{}}{}$$

(1)에 따라 여기에 b를 곱해준것이 된다.

ex)

{x+y=42x−y=−1$$\begin{array}{l}\mathrm{}\\ \mathrm{}\mathrm{}\end{array}$$

[121−1][xy]=[4−1]$$\begin{array}{cc}\mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\mathrm{}\\ \mathrm{}\end{array}$$

det(A)=−3$\mathrm{}$

det(B1)${}_{\mathrm{}}$ 은 첫 번째 column vector를 b$$로 대체해서 구한다

[4−111]=−3$$\begin{array}{cc}\mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}\end{array}\mathrm{}$$

det(B2)${}_{\mathrm{}}$ 는 두 번째 column vector를 b$$로 대체해서 구한다

[124−1]=−9$$\begin{array}{cc}\mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}\end{array}\mathrm{}$$

x=−3−3=1$\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\mathrm{}$

y=−9−3=3$\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\mathrm{}$

(3) Volume of Box

벡터 두 개 a1,a2${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$에 대하여 det$$를 구하면 평행사변형이 나온다.

a3${}_{\mathrm{}}$가 추가되어 3차원이 되었을 때, det$$의 값은 육면체의 부피가 된다.

def(A)=Volume$$$$

• for right-angled box

|a|=l1,|a2|=l2${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$

ai⊥aj${}_{}\mathrm{}{}_{}$ 서로 수직이다.

ATA${}^{}$는 서로 수직인 것 끼리 곱해지기 때문에 거리고 표현가능하다.

n 번째 끼리만 길이에 대한 제곱으로 나오고 ( 대각 행렬 ) 나머지는 0 이다.

(대각 성분 : ||a1||2,||a2||2,||a3||2,⋯,||an||2${}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{}{}^{\mathrm{}}$)

det(ATA)${}^{}$는 det(A)2${}^{\mathrm{}}$으로 나올 것이다.

그렇다면 성분들은 길이의 제곱인 l21,l22,⋯,l2n${}_{\mathrm{}}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}^{\mathrm{}}{}_{}^{\mathrm{}}$ 으로 나온다.

• for non-right angled box ( 수직이 아닐 때 )

Gram schmitt방법을 Projection하여 높이를 구해줘야한다.