제 21강. 연립방정식과 행렬
Relation between eigenvalues and special solutions ( 𝑒𝐴𝑡 of differential equation)
𝐝𝐮(𝐭)𝐝𝐭=[𝑎𝑐𝑏𝑑][𝑢(𝑡)]
[𝑥′(𝑡)𝑦′(𝑡)]={𝑎𝑥(𝑡)+𝑏𝑦(𝑡)𝑐𝑥(𝑡)+𝑑𝑦(𝑡)
먼저 𝑥(𝑡)를 구해보자
𝑥(𝑡)=1𝑐(𝑦′(𝑡)−𝑑𝑦(𝑡)) 이다.
이를 이용해서 𝑥′(𝑡)를 구해보면 서로 다른 두 식이 나온다. 이를 같다고 두고 전개하면 다음과 같다.
1𝑐(𝑦″(𝑡)−𝑑𝑦′(𝑡)=𝑎𝑐(𝑦′(𝑡)−𝑑𝑦(𝑡))+𝑏𝑦(𝑡)
이를 잘 정리하면 다음과 같다.
𝑦″(𝑡)−(𝑎+𝑑)𝑦′(𝑡)+(𝑎𝑑−𝑏𝑐)𝑦(𝑡)=0
이는 Characteristic equation으로, 𝜆2−(𝑎+𝑑)𝜆+(𝑎𝑑−𝑏𝑐)=0으로 나타낼 수 있다.
따라서 𝑦(𝑡)=𝑐1𝑒𝜆1𝑡+𝑐2𝑒𝜆2𝑡
- by eigenvalue problem of A
𝐝𝐞𝐭[𝑎−𝜆𝑐𝑏𝑑−𝜆]=(𝑎−𝜆)(𝑑−𝜆)−𝑏𝑐=0
이를 전개하면
𝜆2−(𝑎+𝑑)𝜆+(𝑎𝑑−𝑏𝑐)=0으로 위에서 구한 결과와 같다!
𝑑𝑑𝑡𝑢(𝑡)=𝐴𝑢(𝑡) -> Find eigenvalue A to get 𝑒𝜆𝑡
𝑢(𝑡)=𝑐1𝑒𝜆1𝑡+𝑐2𝑒𝜆2𝑡
𝐮(0)=𝐜1𝐱1+𝐜2𝐱2=[𝑥1𝑥2][𝑐1𝑐2]=𝑆𝑐,𝑐=𝑆−1𝑢(0)
𝐮(𝐭)=[𝑥1𝑥2][𝑒𝜆1𝑡00𝑒𝜆2𝑡][𝑥1𝑥2]−1𝑢(0)=𝑆𝑒Λ𝑡𝑆−1𝑢(0)
Solution of 𝑑𝑑𝑡𝑢(𝑡)=𝐴𝑢(𝑡)
Taylor Series
𝑒𝑥=1+𝑥+𝑥22!+⋯
x를 At로 / 1을 𝐼로 대체!
𝑒𝐴𝑡=𝐼+𝐴𝑡+𝐴𝑡22!+⋯
𝑑𝑑𝑡(𝑒𝐴𝑡)=𝐴𝑒𝐴𝑡
𝑒𝐴𝑡=𝐼+𝐴𝑡+𝐴𝑡22!+⋯
=𝐼+𝑆Λ𝑆−1𝑡+𝑆Λ2𝑆−1𝑡22!+⋯
=𝑆(𝐼+Λ𝑡+(Λ𝑡)22!+⋯)𝑆−1
=𝑆𝑒Λ𝑡𝑆−1