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제 08강. 지수분포와 어랑분포

Poisson Distribution

Random Value X가 시간동안에 베르누이 분포에서 성공한 events의 수를 말한다.
$P_{X} (X = k) = \frac{λ^{k}}{K!} e^{- λ}, K = 0, 1, 2, \dots$
$E [X] = λ$
$σ_{X}^{2} = λ$

Exponential Distribution

Random Value X는 lifetime이다. 최대 time까지 살아남을 확률을 말한다.
pdf : $f_{X} (x) = λ e^{- λ x}$
CDF : $F_{X} (x) = \int_{0}^{x} λ e^{- λ t} d t = 1 - e^{- λ x} = P (X \leq x)$
결국 time x까지 살아남을 확률을 말하는 것이다.
$E [X] = \frac{1}{λ}$
$E [X^{2}] = \frac{2}{λ^{2}}$
$σ_{X}^{2} = \frac{1}{λ^{2}}$
$σ_{X}^{2} = \frac{1}{λ^{2}}$
그리고 앞 장의 Geometric distribution 처럼 exponential distribution도 Forgetfulness Property를 가진다.

Erlang Distribution

E.D (Exponential) 는 time에 대해서, P.D (Poisson)은 events의 수에 대한 분포이다.
Erlang Distribution은 exponential dist의 일반화된 형태이다.

Random value $X_{K}$ 는 시간 간격 K+1의 성공한 events이다.
즉, exponential dist구간을 K개 만큼 더한 것이 Erlang-K가 되는 것이다.

(K=2면 exp dist에서 2개 집어서 하나로 봄)

${f_{X}}_{k} (x) = \frac{λ^{k} x^{k - 1} e^{- λ x}}{(k - 1)!}$
$k = 1, 2, 3, \dots / x \geq 0$ 일 때,
${F_{X}}_{k} (x) = P (X_{k} \leq x)$
$E [X_{k}] = \int_{0}^{\infty} x \frac{λ^{k} x^{k - 1} e^{- λ x}}{(k - 1)!} d x$
$= \frac{1}{(k - 1)!} \int_{0}^{\infty} (λ x)^{k} e^{- λ x} d x$
$= \frac{1}{(k - 1)!} \int_{0}^{\infty} u^{k} e^{- u} \frac{1}{λ} d u$
$= \frac{1}{(k - 1)!} \int_{0}^{\infty} u^{k} e^{- u} \frac{1}{λ} d u$
Gamma funtion은 다음과 같다.
$Γ (k + 1) = \int_{0}^{\infty} u^{k} e^{- u} d u$
$Γ (k + 1) = k!$
$Γ (k + 1) = k!$
따라서
$E [X] = \frac{1}{λ} \frac{1}{(k - 1)!} Γ (k + 1) = \frac{1}{λ} \frac{1}{(k - 1)!} k! = \frac{k}{λ}$
$E [X] = \frac{1}{λ} \frac{1}{(k - 1)!} Γ (k + 1) = \frac{1}{λ} \frac{1}{(k - 1)!} k! = \frac{k}{λ}$
$E [X_{k}^{2}] = \int_{0}^{\infty} x^{2} \frac{λ^{k} x^{k - 1} e^{- λ x}}{(k - 1)!} d x = \frac{1}{(k - 1)!} \int_{0}^{\infty} \frac{λ^{k + 1} x^{k + 1}}{λ} e^{- λ x} d x$
$= \frac{1}{(k - 1)!} \frac{1}{λ} \int_{0}^{\infty} (λ x)^{k + 1} e^{- λ x} d x$
$= \frac{1}{(k - 1)!} \frac{1}{λ} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{λ} t^{k + 1} e^{- t} d t = \frac{1}{(k - 1)!} \frac{1}{λ^{2}} Γ (k + 2)$
$= \frac{1}{λ^{2}} k (k + 1)$
$= \frac{1}{λ^{2}} k (k + 1)$
$σ_{X}^{2} = \frac{K (K + 1)}{λ^{2}} - \frac{K^{2}}{λ^{2}} = \frac{K}{λ^{2}}$
$σ_{X}^{2} = \frac{K (K + 1)}{λ^{2}} - \frac{K^{2}}{λ^{2}} = \frac{K}{λ^{2}}$

Uniform Distribution

구간 $[a, b]$ 에 대한 분포이다.

$f_{X} (x) = \frac{1}{b - a}$
조건 : $(a \leq x \leq b)$
$(a \leq x \leq b)$
$F_{X} (x) = \frac{x - a}{b - a}$
조건 : $(a \leq x \leq b)$
$(a \leq x \leq b)$
$E [X] = \frac{a + b}{2}$ 구간에 대한 평균이기에 그냥 산술적으로 구할 수 있다.

$E [X^{2}] = \int_{a}^{b} \frac{1}{b - a} x^{2} d x = \frac{b^{3} - a^{3}}{3 (b - a)} = \frac{b^{2} + a b + a^{2}}{3}$
$E [X^{2}] = \int_{a}^{b} \frac{1}{b - a} x^{2} d x = \frac{b^{3} - a^{3}}{3 (b - a)} = \frac{b^{2} + a b + a^{2}}{3}$
$σ_{X}^{2} = E [X^{2}] - E [X]^{2} = \frac{b^{2} + a b + a^{2}}{3} - \frac{(a + b)^{2}}{4} = \frac{(b - a)^{2}}{12}$

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