728x90

제 09강. 정규분포

Normal Distribution ( Gaussian )

Random Variable X : 연속적인 형태이다.

pdf : $f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{X}^{2}}} e^{- \frac{1}{2 σ_{X}^{2}}} (x - μ_{X})^{2}$

$f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{X}^{2}}} e^{- \frac{1}{2 σ_{X}^{2}}} (x - μ_{X})^{2}$

파라미터는 평균과 분산이다.

$N (μ_{X}, σ_{X}^{2})$

이는 평균을 기준으로 대칭적이고, 종 모양을 띄고있다.

$σ_{X}$ 가 크면 분포가 넓어지고 $σ_{X}$ 가 작아지면 분포가 좁아진다.

CDF : $F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{X}^{2}}} e^{- \frac{1}{2 σ_{X}^{2}}} (t - μ_{X})^{2} d t$

$F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{X}^{2}}} e^{- \frac{1}{2 σ_{X}^{2}}} (t - μ_{X})^{2} d t$

$u = \frac{t - μ_{X}}{σ_{X}}$ 라고 가정하자.

$\int_{- \infty}^{\frac{x - μ_{X}}{σ_{X}}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{u^{2}}{2}} d u = Φ (\frac{x - μ_{X}}{σ_{X}})$

$Φ (- x) = 1 - Φ (x)$

$B (n, p) - > N (n p, n p (1 - p))$

$P [a \leq X \leq b] = P [\frac{a - n p}{\sqrt{n p (a - p)}} \leq Z \leq \frac{b - n p}{\sqrt{n p (a - p)}}]$

$y = \frac{x - μ_{X}}{\sqrt{2} σ_{X}}$

$F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{X}}} e^{- \frac{(x - μ_{X})^{2}}{2 σ_{X}^{2}}} d x$

$= \frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\frac{x - μ_{X}}{\sqrt{2 π σ_{X}}}} e^{- y^{2}} d x$

$e r f (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- y^{2}} d x$

$e r f^{2} (x) = 1$

$e r f_{C} (x) = 1 - e r f (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{x}^{\infty} e^{- y^{2}} d y$

728x90