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제 10강. 다중변수 및 연합분포

1. Joint CDF of Bivariate R.V

joint CDF : $P [X \leq x, Y \leq y] = F_{x y} (x, y)$
marginal CDF : $F_{x} (x), F_{Y} (y)$

1-1. Properties of joint CDF

(1) $0 \leq F_{X Y} (x, y) \leq 1$

(2) if $x_{1} \leq x_{2}$ and $y_{1} \leq y_{2}$

하나를 고정해도 값은 커진다.

$F_{X Y} (x_{1}, y_{1}) \leq F_{X Y} (x_{2}, y_{1}) \leq F_{X Y} (x_{2}, y_{2})$

$F_{X Y} (x_{1}, y_{1}) \leq F_{X Y} (x_{1}, y_{2}) \leq F_{X Y} (x_{2}, y_{2})$

(3) $lim_{x, y - > \infty} F_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (\infty, - \infty) = 1$

$lim_{x, y - > \infty} F_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (\infty, - \infty) = 1$

(4) $lim_{x - > \infty} F_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (\infty, y) = 0$

$lim_{y - > \infty} F_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (x, - \infty) = 0$

(5) $lim_{x - > a^{+}} F_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (a, y)$

$lim_{x - > b^{+}} F_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (x, b)$

(6) $P (x_{1} \leq X \leq x_{2}, Y \leq y) = F_{X Y} (x_{2}, y) - F_{X Y} (x_{1}, y)$

좌표평면에 그림을 그려서 이해하면 편하다

(7) $P [X \leq x, y_{1} < Y \leq y_{2}] = F_{X Y} (x, y_{2}) - F_{X Y} (x, y_{1})$

$P [X \leq x, y_{1} < Y \leq y_{2}] = F_{X Y} (x, y_{2}) - F_{X Y} (x, y_{1})$

(8) $x_{1} \leq x_{2}$ and $y_{1} \leq y_{2}$

$P [x_{1} < X \leq x_{2}, y_{1} < Y \leq y_{2}]$

$F_{X Y} (x_{2}, y_{2}) - F_{X Y} (x_{2}, y_{1}) - F_{X Y} (x_{1}, y_{2}) + F_{X Y} (x_{1}, y_{1})$

중복되는 면적을 마지막에 다시 더해준다.

Marginal CDFs of X and Y

$F_{X} (x) = F_{X Y} (x, \infty)$
$F_{Y} (y) = F_{X Y} (\infty, y)$
모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

Discrete R.V

$P_{X Y} (x, y) = P [X = x, Y = y]$

(1) $0 \leq P_{X Y} (x, y) \leq 1$

$0 \leq P_{X Y} (x, y) \leq 1$

(2) $\sum_{x} \sum_{y} P_{X Y} (x, y) = 1$

$\sum_{x} \sum_{y} P_{X Y} (x, y) = 1$

(3) $\sum_{x \leq a} \sum_{y \leq b} P_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (a, b)$

$\sum_{x \leq a} \sum_{y \leq b} P_{X Y} (x, y) = F_{X Y} (a, b)$

(4) $P_{X} (x) = \sum_{y} P_{X Y} (x, y)$

$P_{Y} (y) = \sum_{x} P_{X Y} (x, y)$

 모든 경우를 다 생각하는 위와 같다.

(5) Independence $P (A \cap B) = P (A) P (B)$

$P_{X Y} (x, y) = P_{X} (x) P_{Y} (y)$

EX) $P_{X Y} (x, y) = k (2 x + y)$ if $x = 1, 2 / y = 1, 2$ 나머지는 0

(1) k 구하기
$\sum_{x} \sum_{y} P_{X Y} (x, y) = 1 = k (3 + 4 + 5 + 6)$
$k = \frac{1}{18}$
$k = \frac{1}{18}$
(2) $P_{X} (x) = \sum_{y} P_{X Y} (x, y) = \frac{1}{18} (4 x + 3) / x = 1, 2$
$P_{Y} (y) = \sum_{x} P_{X Y} (x, y) = \frac{1}{18} (2 y + 6)$
$P_{Y} (y) = \sum_{x} P_{X Y} (x, y) = \frac{1}{18} (2 y + 6)$
(3) $P_{X Y} (x, y) \neq P_{X} (x) P_{Y} (y)$ => Not Independent

2. Continuous R.V

joint PDF : $f_{X Y} (x, y) = \frac{σ^{2}}{σ x σ y} F_{X Y} (x, y)$
$F_{X Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{y} \int_{- \infty}^{x} f_{X Y} (u, v) d u d v$
(1) $f_{X Y} (x, y) \geq 0$
(2) $\int_{- \infty}^{y} \int_{- \infty}^{x} f_{X Y} (x, y) d x d y = 1$
(3) $P [x_{1} \leq X \leq x_{2}, y_{1} < Y \leq y_{2}] = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X Y} (x, y) d x d y$

Marginal PDF

$f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d y$
$f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d x$
모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

Independent

$f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$

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저작자표시

[KOCW 확률통계] 10강. 다중변수 및 연합분포

제 10강. 다중변수 및 연합분포

1. Joint CDF of Bivariate R.V

joint CDF : $P [X \leq x, Y \leq y] = F_{x y} (x, y)$
marginal CDF : $F_{x} (x), F_{Y} (y)$

1-1. Properties of joint CDF

Marginal CDFs of X and Y

$F_{X} (x) = F_{X Y} (x, \infty)$
$F_{Y} (y) = F_{X Y} (\infty, y)$
모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

Discrete R.V

EX) $P_{X Y} (x, y) = k (2 x + y)$ if $x = 1, 2 / y = 1, 2$ 나머지는 0

2. Continuous R.V

Marginal PDF

$f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d y$
$f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d x$
모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

Independent

$f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$

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제 10강. 다중변수 및 연합분포

1. Joint CDF of Bivariate R.V

joint CDF : 𝑃[𝑋≤𝑥,𝑌≤𝑦]=𝐹𝑥𝑦(𝑥,𝑦)marginal CDF : 𝐹𝑥(𝑥),𝐹𝑌(𝑦)

1-1. Properties of joint CDF

Marginal CDFs of X and Y

𝐹𝑋(𝑥)=𝐹𝑋𝑌(𝑥,∞)𝐹𝑌(𝑦)=𝐹𝑋𝑌(∞,𝑦)모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

Discrete R.V

EX) 𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦)=𝑘(2𝑥+𝑦) if 𝑥=1,2/𝑦=1,2 나머지는 0

(1) k 구하기∑𝑥∑𝑦𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦)=1=𝑘(3+4+5+6)𝑘=118(2) 𝑃𝑋(𝑥)=∑𝑦𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦)=118(4𝑥+3)/𝑥=1,2𝑃𝑌(𝑦)=∑𝑥𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦)=118(2𝑦+6)(3) 𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦)≠𝑃𝑋(𝑥)𝑃𝑌(𝑦) => Not Independent

2. Continuous R.V

Marginal PDF

𝑓𝑋(𝑥)=∫∞−∞𝑓𝑋𝑌(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑓𝑌(𝑦)=∫∞−∞𝑓𝑋𝑌(𝑥,𝑦)𝑑𝑥모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

Independent

𝑓𝑋𝑌(𝑥,𝑦)=𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦)

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joint CDF : $P [X \leq x, Y \leq y] = F_{x y} (x, y)$
marginal CDF : $F_{x} (x), F_{Y} (y)$

$F_{X} (x) = F_{X Y} (x, \infty)$
$F_{Y} (y) = F_{X Y} (\infty, y)$
모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

EX) $P_{X Y} (x, y) = k (2 x + y)$ if $x = 1, 2 / y = 1, 2$ 나머지는 0

$f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d y$
$f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d x$
모든 경우를 다 생각하면 CDF의 다른 범위를 무한대로해서 x 변수의 marginal probability 를 구할 수 있음

$f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$