[KOCW 확률통계] 제 12강. 조건부 평균과 공분산

제 12강. 조건부 평균과 공분산

Continuous case일 때,

μY|X=E[Y|X=x]=∫∞−∞yfY|X(y|x)dy

fX|Y(x|y)=fXY(x,y)fY(y)
(Bayesian Theorem에 의한 것이다.)

E[X|Y=y]=y=g(Y)

E[g(x)]=∫g(x)fX(x)dx

E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)fXY(x,y)dxdy

• 증명

E[E[X|Y]]=E[∫∞−∞xfX|Y(x|y)dx]

=∫∞−∞[∫∞−∞xfX|Y(x|y)dx]fY(y)dy

=∫∞−∞[∫∞−∞xfX|Y(x|y)fY(y)dxdy]

=∫∞−∞[∫∞−∞xfX|Y(x,y)fY(y)fY(y)dydx]

=∫∞−∞xfX(x)dx=E[X]

Covariance & Correlation Coefficient

Cov(X,Y)=σXY=E[(X−μx)(Y−μY)]

=E[XY−μxY−μYX+μXμY]

=E[XY]−μXμY

만약에 X,Y가 independent 하다면

E[XY]=μXμY=∫∫xyfX(x)fY(y)dxdy

σXY=0

Correlation Coefficient는 다음과 같다.

pXY=σXYσXσY

|pXY|≤1이다.