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1강. 선형성 정의 및 1차 연립 방정의 의미

Linearity : 선형성 존재해야 행렬로 표현 가능하다!

Superposition ( 중첩의 원리 )
Homogenirety

위 두 가지를 만족해야 Linearity

$f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ -> 중첩해서 더할 수 있다.
$f (a x) = a f (x)$ -> Homogeniety 만족 ( a는 상수 )

즉, $f (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}) = a_{1} f (x_{1}) + a_{2} f (x_{2})$

$y = m x = f (x)$

$m (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}) = a_{1} m x_{1} + a_{2} m x_{2} = a_{1} f (x_{1}) + a_{2} f (x_{2})$

"반드시 원점"을 지나야함 ( LInearity의 조건 )

$y = m x + n (n \neq 0)$ $m (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}) + n \neq a_{1} (m x_{1} + n) + a_{2} (m x_{2} + n)$

값 자체가 x ~ y 선형성이 없다. ∆x, ∆y 변화량간의 선형성은 존재한다.

operation = Differentiation(미분), Integration(적분) -> 선형성을 띈다.

미분 : $\frac{d}{d t} (a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t)) = a_{1} \frac{d}{d t} x_{1} (t) + a_{2} \frac{d}{d t} x_{2} (t)$ 적분도 똑같다.

\begin{matrix} _{} & _{} \end{matrix} \begin{matrix} _{} \\ _{} \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix}

$A • X = y$

$a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} = y$

Baisic notations of Matrix

Vector $V = (a b c)^{T}$ : row vector ( 행벡터 )

$V = [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}]$ : column vector ( 열벡터 )

• Transpose

row <-> column ( 값 바꾸기 )

${[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]}^{T}$ -> $[\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix}]$

• Linear Combination ( 선형결합 )

\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix}

\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix}

\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \begin{matrix} _{}_{} \\ _{}_{} \\ _{}_{} \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix} _{} & _{} \\ _{} & _{} \\ _{} & _{} \end{matrix}

A+B = C = B+A

AB≠BA ( 교환법칙이 성립하지 못한다 )

(mxn) x (n x l ) = ( m x l )

$A I = I A = A$ ( I = E : 단위행렬(Identity matrix), 대각이 1 / 나머지 0 )

$A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

더 큰 차원은 " 가우스 소거법"을 이용한다.

In [1]:

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

soa = np.array([[0, 0, 4, 2], [0, 0, 2, 4], [0, 0, 4.5, 5],[4,2,-2,2]]) 
X, Y, U, V = zip(*soa) 
plt.figure() 
ax = plt.gca() 
ax.quiver(X, Y, U, V, angles='xy', scale_units='xy', scale=1,color=['g','g','r','b']) 
ax.set_xlim([-1, 8]) 
ax.set_ylim([-1, 8]) 
plt.draw() 
plt.show()

<matplotlib.figure.Figure at 0x119fa9cf8>

위의 초록색 곡선이 $V_{1}$ 이고 아래의 초록색 곡선이 $V_{2}$ 라면 가운데 빨간 곡선은 $V_{1} + V_{2}$ 이다.

$V_{1}$ 과 $V_{2}$ 의 차이는 $V_{2}$ 에서 $V_{1}$ 방향으로 화살표(파란색)를 긋고 $V_{1} - V_{2}$ 라고 말한다.

• Inner product ( 내적 )

$V_{1} • V_{2} = | V_{1} | | V_{2} | \cos θ$

$(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2})$

In [2]:

soa = np.array([[0, 0, 5, 0], [0, 0, 3, 6],[3,6,0,-6]]) 
X, Y, U, V = zip(*soa) 
plt.figure() 
ax = plt.gca() 
ax.quiver(X, Y, U, V, angles='xy', scale_units='xy', scale=1,color=['g','r','b']) 
ax.set_xlim([-1, 8]) 
ax.set_ylim([-1, 8]) 
plt.draw() 
plt.show()

빨간색 벡터 $V_{1}$ 과 초록색 벡터 $V_{2}$ 사이의 각을 θ 라고 하자. 초록선에 직교하는 파란선을 $V_{1} \cos θ$ 로 계산할 수 있다.

함수의 내적이란 결국에 "적분"과 같은 개념이라고 볼 수 있다. 그 함수가 내리는 직교하는 직선들은 모두 다 Element 이고 그 합을 나타내는 것이 적분이기 때문이다.

$\sum_{k = \infty}^{\infty} f_{1} (t_{1}) f_{2} (t_{2}) = \int f_{1} (t) f_{2} (t) d t$

=Hilbert Space

Gauss Elimination

• How to solve linear system equation

\begin{array}{ll}  \end{array}

위의 식이 1번 아래식이 2번이라면 "4 X ① - ②" 를 통해 y값을 구할 수 있다.

이를 통해 y = 2가 나오게 된다.

이 식을 행렬로 나타내보면

\begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix}

row equation으로 각각의 직선들이 만나는 "교점"의 좌표를 구하는 것이다.

\begin{matrix}  \end{matrix} {\begin{matrix}  \end{matrix}}^{} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix}

• Linear Combination

\begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix}

평행사변형의 원리로도 구할 수 있다.

• For 3-D Vector

\begin{array}{ll}  \end{array}

연립방정식을 행렬로 나타내면 다음과 같다

\begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix}

• Solutions

row form -> intersection ( 교점 ) of 3 planes : 3개 직선의 교점을 찾는 법

\begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix}

column form -> Linear Combination of Column Vectors : 열벡터들의 선형결합을 통해 찾는 법