[KOCW 선형대수] 9강. 선형변환과 행렬

제 9강. 선형변환과 행렬

Linear Transformations

Ax=b$$

b$$ is a linear combination of column vectors of A$$ with coefficient in x$$

x$$ is transformed(mapped) into b$$ by A$$

Stretching ( Extending or Contracting )

A=[C00C]$$\mathbf{}\begin{array}{cc}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \end{array}$$

90 degree rotation

A=[0−1−10]$$\mathbf{}\begin{array}{cc}\mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}\end{array}$$

Reflection by x2=x1${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$ ( y=x$$대칭)

A=[0110]$$\mathbf{}\begin{array}{cc}\mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}\end{array}$$

Projection into x$$ ( 수선의 발 )

A=[1000]$$\mathbf{}\begin{array}{cc}\mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}\end{array}$$

Am×n${}_{}$ 일 떼, ℝn${\mathbb{}}^{}$->ℝm${\mathbb{}}^{}$으로 만드는 과정이다. ( Transform )

Ex) differentiation ddt$\frac{}{}$ of polynomial ( 다항식 )

x(t)=a0+a1t+a2t2+⋯+antn${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{}{}^{}$

y(t)=ddtx(t)=b0+b1t+b2t2+⋯+bn−1tn−1$\frac{}{}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}$

n+1$\mathrm{}$차원을 n$$차원으로 Transform하는 것이 미분이다.

(a0${}_{\mathrm{}}$부터 an${}_{}$까지 n+1$\mathrm{}$개 / b0${}_{\mathrm{}}$부터 bn−1${}_{\mathrm{}}$까지 n$$개)

Ex) integration

ℝn+1${\mathbb{}}^{\mathrm{}}$->ℝn+2${\mathbb{}}^{\mathrm{}}$의 과정이다.

null space는 무조건 "0"이다.

Ex) multiplication by polynomial

다항식 간의 곱인데 2차원과 n차원간의 곱이라면 이는

ℝn+1${\mathbb{}}^{\mathrm{}}$->ℝn+3${\mathbb{}}^{\mathrm{}}$으로 나타난다.

• If given Ax$$ for every basis vectors X$$

Ax1=a1${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$, Ax2=a2${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$, ⋯$$, Axn=an${}_{}{}_{}$

then we can find any transform results in the vector space without A$$

Polynomial case : differentiation & integration

(1) first find a basis ( = most fundamental )

(2) then determine transformation (matrix) on the basis

Ex) degree 3 polynomial ℙ𝟛${\mathbb{}}_{\mathbb{}}$

(1) basis for ℙ𝟛${\mathbb{}}_{\mathbb{}}$

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢1tt2t3⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$\mathbf{}\begin{array}{c}\mathrm{}\\ \\ {}^{\mathrm{}}\\ {}^{\mathrm{}}\end{array}$$

P1=1,P2=t,P3=t2,P4=t3${}_{\mathrm{}}\mathrm{}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}$

ddtA:AP1=0,AP2=1,AP3=2t,AP4=3t2$\frac{}{}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}$

a vector form of each basis polynomial

P1=(1,0,0,0),P2=(0,1,0,0),P3=(0,0,1,0),P4=(0,0,0,1)${}_{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}$

Adiff=⎡⎣⎢⎢⎢⎢0000100002000030⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\begin{array}{cccc}\mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}\end{array}$$

• Free variable = P1${}_{\mathrm{}}$
• Pivot variable = P2,P3,P4${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$

null space는 상수항인 P1${}_{\mathrm{}}$만 0벡터로 만들어 주면 가능하게 된다. (special solution)

• integration도 똑같은 과정으로 하면 된다. 

적분하고 미분하면 그대로가 되듯이,

AdiffAint=I${}_{}{}_{}$이다.

이는 differentiation 이 integration의 left-inverse라고 한다.

Rotation, Projection, Reflection

(1) Rotation

Q−1θ=Q−θ${}_{}^{\mathrm{}}{}_{}$ ( rotation을 반대로하는 것 )

Q2θ=Q2θ${}_{}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$

QθQϕ=Qθ+ϕ${}_{}{}_{}{}_{}$

위는 삼각함수를 이용한 것이다.

(2) Projection

θ$$ line에 projection( 수선의 발)을 하는 것이다.

Pθ=[C2CSCSS2]$${\mathbf{}}_{}\begin{array}{cc}{}^{\mathrm{}}& \\ & {}^{\mathrm{}}\end{array}$$