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제 16강. 판별식의 공식

$d e t (A) =$ Product of all pivots from Gauss-Elimination ( = no pivoting )

$d e t (A = L D U)$ L, U = 1로 나온다

$P A = L D U$

$d e t (P) = + o r - 1$

$d e t (A) = + o r - \prod_{i = 1}^{n} P i v o t s_{i}$

대각행렬 $A$ 에 대하여

$d e t (A) = N + 1$

일반적으로

\begin{matrix} _{} & _{} & _{} \\ _{} & _{} & _{} \\ _{} & _{} & _{} \end{matrix}

$a_{11} a_{22} a_{33} (d e t P_{1}) + a_{11} a_{23} a_{32} (d e t P_{2})$

= $a_{11} (a_{22} a_{33} d e t P_{1} + a_{23} a_{32} d e t P_{2})$

$a_{11} (a_{22} a_{33} d e t P_{1} + a_{23} a_{32} d e t P_{2})$

괄호 안을 Cofactor라고 부르고 $C$ 로 표기한다.

빨간 부분을 Submatrix라고 부른다. 이들의 조합으로 Cofactor를 표현한다.

일반적인 식으로 나타내면 아래와 같다.

$d e t (A) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}$

$C_{i j} = (- 1)^{i + j} d e t M_{i j}$

$M$ 은 앞서 말한 Submatrix를 말한다.

2x2 형태가 나올 때 까지 계속 나누다 보면 $d e t$ 를 구할 수 있다.

$d e t (A) \neq 0$ , all pivots $\neq 0$

$A_{- 1}$ 는 존재하게 되고

$A_{- 1} b = x$ 가 Unique한 값을 가지게 된다. ( 조합을 계산 )

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