제 18강. 고유값과 고유벡터 및 대각화

Eigenvalues & Eigenvectors

$A x = λ x$

$λ$ : eigenvalue , $x$ : eigenvector

=> row exchanges change the eigenvalue $λ$

=> Use determinant

$d e t (A - λ I) = 0$

$N (A - λ I)$

=> how to find null-space ( eigen vector )

=> Reduced Row Echelon form ( pivot variables / free variables )

Ex)

$d e t (A - λ I) = (4 - λ) (- 3 - λ) + 10$

$=> λ^{2} - λ - 2 = 0$

(1) $λ = - 1$

(2) $λ = 2$

(1) Compute $d e t (A - λ I)$ and find the roots of $λ$

(2) For each eigenvalue, solve the equation $(A - λ I) x = 0$

For triangular(diagnoal) matrix

-> eigenvalues = diagnoal elements of $A$

Eigenvalues are different from pivots in Gauss Elimination

(1) $Π λ_{i} = Π p i v o t s = d e t (A)$

eigenvalue의 product는 determinant이다.

(2) Trace of $A$ = $λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}$

( Trace = 대각 성분 다합한 것 = $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i}$

Diagonalization of a Matrix

=> The eigenvectors diagonalization a matrix

For nxn matrix $A$ , $A$ has n linearly independent eigenvectors ( $e_{i}$ )

넘어가기 전에 Decomposition에 3가지 방법이 있다.

(1) $A = L U = L D U$

(2) $A = Q R$ (=Gram-schmitt)

(3) $A = S Λ S^{- 1}$

으로 표현이 된다!

ex 1 )

$d e t (A - λ I) = 0$

$λ = 1 o r 0$

Assume that $e_{2}$ is dependent on $e_{1}$

e_{1}

$e_{2} = c e_{1}$ ( independent -> c=0 )

양변에 $A$ 를 곱해준다

$A e_{2} = c A e_{1}$

$=> λ_{2} e_{2} = c λ_{1} e_{1}$

기존 식에 양변에 $λ_{2}$ 를 곱해준다

$λ_{2} e_{2} = c λ_{2} e_{1}$

결국에는

$c (λ_{2} - λ_{1}) e_{1}$ 이 성립해야한다.

하지만 $e_{1}$ 은 영행렬이 아니고, $λ_{2} \neq λ_{1}$ 이다.

따라서 $c = 0$ 이어한다,

그렇다면 $e_{1}, e_{2}$ 는 independent하다. 가설이 틀렸다는 것 이다.

일반화 해봐도 똑같은 결과로 도출된다.

따라서 $e_{n}$ 들은 linearly independent 하다.

Remark

If $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ are distinct(다르다면), than n eigenvectors are independent

(1) $S = t e$ => eigenvector

(2) $S$ is not Unique, $A_{n}$ eigenvector can be mutiplied by a constant

(3) The order of eigenvalues and eigenvectors in $S$ and $Λ$ are the same

$e_{n}, λ_{p}$ 는 순서에 맞게 쌍을 이루어야 한다.

(4) Not all matrices have n linearly independent eigenvectors, so not all matrices are diagonalizable

Powers and Products

$A = λ, e$

$A^{k} = λ^{k}, e$ 는 그대로

$A e = λ e$

여기에 $A$ 를 곱하면

$A^{2} e = λ A e = λ^{2}$

제 18강. 고유값과 고유벡터 및 대각화

Eigenvalues & Eigenvectors

$A x = λ x$

$λ$ : eigenvalue , $x$ : eigenvector

=> row exchanges change the eigenvalue $λ$

=> Use determinant

$d e t (A - λ I) = 0$

$N (A - λ I)$

=> how to find null-space ( eigen vector )

=> Reduced Row Echelon form ( pivot variables / free variables )

Ex)

$d e t (A - λ I) = (4 - λ) (- 3 - λ) + 10$

$=> λ^{2} - λ - 2 = 0$

(1) $λ = - 1$

(2) $λ = 2$

(1) Compute $d e t (A - λ I)$ and find the roots of $λ$

(2) For each eigenvalue, solve the equation $(A - λ I) x = 0$

For triangular(diagnoal) matrix

-> eigenvalues = diagnoal elements of $A$

Eigenvalues are different from pivots in Gauss Elimination

(1) $Π λ_{i} = Π p i v o t s = d e t (A)$

eigenvalue의 product는 determinant이다.

(2) Trace of $A$ = $λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}$

( Trace = 대각 성분 다합한 것 = $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i}$

Diagonalization of a Matrix

=> The eigenvectors diagonalization a matrix

For nxn matrix $A$ , $A$ has n linearly independent eigenvectors ( $e_{i}$ )

넘어가기 전에 Decomposition에 3가지 방법이 있다.

(1) $A = L U = L D U$

(2) $A = Q R$ (=Gram-schmitt)

(3) $A = S Λ S^{- 1}$

으로 표현이 된다!

ex 1 )

$d e t (A - λ I) = 0$

$λ = 1 o r 0$

Assume that $e_{2}$ is dependent on $e_{1}$

e_{1}

$e_{2} = c e_{1}$ ( independent -> c=0 )

양변에 $A$ 를 곱해준다

$A e_{2} = c A e_{1}$

$=> λ_{2} e_{2} = c λ_{1} e_{1}$

기존 식에 양변에 $λ_{2}$ 를 곱해준다

$λ_{2} e_{2} = c λ_{2} e_{1}$

결국에는

$c (λ_{2} - λ_{1}) e_{1}$ 이 성립해야한다.

하지만 $e_{1}$ 은 영행렬이 아니고, $λ_{2} \neq λ_{1}$ 이다.

따라서 $c = 0$ 이어한다,

그렇다면 $e_{1}, e_{2}$ 는 independent하다. 가설이 틀렸다는 것 이다.

일반화 해봐도 똑같은 결과로 도출된다.

따라서 $e_{n}$ 들은 linearly independent 하다.

Remark

If $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ are distinct(다르다면), than n eigenvectors are independent

(1) $S = t e$ => eigenvector

(2) $S$ is not Unique, $A_{n}$ eigenvector can be mutiplied by a constant

(3) The order of eigenvalues and eigenvectors in $S$ and $Λ$ are the same

$e_{n}, λ_{p}$ 는 순서에 맞게 쌍을 이루어야 한다.

(4) Not all matrices have n linearly independent eigenvectors, so not all matrices are diagonalizable

Powers and Products

$A = λ, e$

$A^{k} = λ^{k}, e$ 는 그대로

$A e = λ e$

여기에 $A$ 를 곱하면

$A^{2} e = λ A e = λ^{2}$

제 18강. 고유값과 고유벡터 및 대각화

Eigenvalues & Eigenvectors

$A x = λ x$

$λ$ : eigenvalue , $x$ : eigenvector

=> row exchanges change the eigenvalue $λ$

=> Use determinant

$d e t (A - λ I) = 0$

$N (A - λ I)$

=> how to find null-space ( eigen vector )

=> Reduced Row Echelon form ( pivot variables / free variables )

Ex)

$d e t (A - λ I) = (4 - λ) (- 3 - λ) + 10$

$=> λ^{2} - λ - 2 = 0$

(1) $λ = - 1$

(2) $λ = 2$

(1) Compute $d e t (A - λ I)$ and find the roots of $λ$

(2) For each eigenvalue, solve the equation $(A - λ I) x = 0$

For triangular(diagnoal) matrix

-> eigenvalues = diagnoal elements of $A$

Eigenvalues are different from pivots in Gauss Elimination

(1) $Π λ_{i} = Π p i v o t s = d e t (A)$

eigenvalue의 product는 determinant이다.

(2) Trace of $A$ = $λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}$

( Trace = 대각 성분 다합한 것 = $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i}$

Diagonalization of a Matrix

=> The eigenvectors diagonalization a matrix

For nxn matrix $A$ , $A$ has n linearly independent eigenvectors ( $e_{i}$ )

넘어가기 전에 Decomposition에 3가지 방법이 있다.

(1) $A = L U = L D U$

(2) $A = Q R$ (=Gram-schmitt)

(3) $A = S Λ S^{- 1}$

으로 표현이 된다!

ex 1 )

$d e t (A - λ I) = 0$

$λ = 1 o r 0$

Assume that $e_{2}$ is dependent on $e_{1}$

e_{1}

$e_{2} = c e_{1}$ ( independent -> c=0 )

양변에 $A$ 를 곱해준다

$A e_{2} = c A e_{1}$

$=> λ_{2} e_{2} = c λ_{1} e_{1}$

기존 식에 양변에 $λ_{2}$ 를 곱해준다

$λ_{2} e_{2} = c λ_{2} e_{1}$

결국에는

$c (λ_{2} - λ_{1}) e_{1}$ 이 성립해야한다.

하지만 $e_{1}$ 은 영행렬이 아니고, $λ_{2} \neq λ_{1}$ 이다.

따라서 $c = 0$ 이어한다,

그렇다면 $e_{1}, e_{2}$ 는 independent하다. 가설이 틀렸다는 것 이다.

일반화 해봐도 똑같은 결과로 도출된다.

따라서 $e_{n}$ 들은 linearly independent 하다.

Remark

If $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ are distinct(다르다면), than n eigenvectors are independent

(1) $S = t e$ => eigenvector

(2) $S$ is not Unique, $A_{n}$ eigenvector can be mutiplied by a constant

(3) The order of eigenvalues and eigenvectors in $S$ and $Λ$ are the same

$e_{n}, λ_{p}$ 는 순서에 맞게 쌍을 이루어야 한다.

(4) Not all matrices have n linearly independent eigenvectors, so not all matrices are diagonalizable

Powers and Products

$A = λ, e$

$A^{k} = λ^{k}, e$ 는 그대로

$A e = λ e$

여기에 $A$ 를 곱하면

$A^{2} e = λ A e = λ^{2}$

[KOCW 선형대수] 18강. 고유값과 고유벡터 및 대각화

제 18강. 고유값과 고유벡터 및 대각화

Eigenvalues & Eigenvectors

(1) $λ = - 1$

(2) $λ = 2$

For triangular(diagnoal) matrix

Diagonalization of a Matrix

Assume that $e_{2}$ is dependent on $e_{1}$

Remark

Powers and Products

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제 18강. 고유값과 고유벡터 및 대각화

Eigenvalues & Eigenvectors

(1) 𝜆=−1

(2) 𝜆=2

For triangular(diagnoal) matrix

Diagonalization of a Matrix

Assume that 𝑒2 is dependent on 𝑒1

Remark

Powers and Products

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(1) $λ = - 1$

(2) $λ = 2$

Assume that $e_{2}$ is dependent on $e_{1}$