독립사건이란 말 그대로 서로가 영향을 미치지 않는 독자적인 존재라는 것이다.
따라서 다음 식이 성립하게 되는 것이다.
𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴)& 𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
Combinatorial Analysis
line arrangement(순서 고려) of n different objects
𝑛𝑃𝑟=𝑛!𝑛!(𝑛−𝑟)!
=> 𝑟 out if 𝑛 objects
0!=1 나열하지 않는다는 것이다.
중복되는 것을 나열할 때는 다음과 같이 구할 수 있다.
𝑁𝑘=𝑛!𝑛1!𝑛2!⋯𝑛𝑘!
Combiantions
𝑛𝐶𝑟=(𝑛𝑟)=𝑛𝑃𝑟𝑟!=𝑛!(𝑛−𝑟)!𝑟!=𝑛𝐶𝑛−𝑟
이항일 때,
(𝑛+𝑚𝑘)=∑𝑘𝑖=0(𝑛𝑖)(𝑚𝑘−𝑖)
위의 식으로 일반화하여 나타낼 수 있다.
(𝑘<𝑛,𝑘<𝑚)
위의 식은 남자와 여자로 나누어보면 쉽게 이해할 수 있다.
n이 남자고, m이 여자라면 경우의 수를 다음의 쌍처럼 나눠볼 수 있다.
(𝑛,𝑚)=(0,𝑟),(1,𝑟−1),⋯,(𝑟,0)
이를 다르게 표현하면 다음과 같다.
(0,𝑟)=(𝑛0)(𝑚𝑟)
(1,𝑟−1)=(𝑛1)(𝑚𝑟−1)
⋮
(𝑟,0)=(𝑛𝑟)(𝑚0)
따라서 위의 식이었던
(𝑛+𝑚𝑘)=∑𝑘𝑖=0(𝑛𝑖)(𝑚𝑘−𝑖)
가 도출되는 것이다.
Binomial Theorem
(𝑎+𝑏)𝑛=∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘
∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)
이 부분은 계수를 나타내게 되는 것이다.
𝑓(𝑥)=(1+𝑥)𝑛=∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)𝑥𝑘
만약에 𝑥=1일 때, 다음이 성립한다.
2𝑛=∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)
추가로 다음 예시를 보자.
𝑓(𝑥)=1+2𝑥+3𝑥2+4𝑥3+⋯
𝑥𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥2+3𝑥3+⋯
위의 첫 번째식에서 두 번째 식을 빼면 무한급수의 형태로 나온다.
(1−𝑥)𝑓(𝑥)=1+𝑥+𝑥2+𝑥3+⋯
무한급수 공식을 통해 합이 11−𝑥이라는 것을 알 수 있다.
다른 함수 𝑔(𝑥)를 정의해보자
𝑔(𝑥)=∑∞𝑘=0𝑥𝑘=11−𝑥
여기서 𝑔(𝑥)를 미분하면 다음과 같은 결과가 도출된다.
𝑔′(𝑥)=∑∞𝑘=0𝑘𝑥𝑘−1=𝑓(𝑥)=(11−𝑥)′
이를 멱급수라고 이야기한다.
𝑛!=2𝜋𝑛‾‾‾‾√(𝑛𝑒)𝑛
Reliability Applications
reliability : duration of the useful functioning of systems
즉 스템이 유용하게 작동할 때까지의 기간을 말한다.
𝑅(𝑡)는 t시점까지 시스템이 유용하게 작동할 확률을 말한다.
즉, 직렬로 모듈들이 연결되어 있을 때를 말한다.
하지만 하나의 모듈이 고장난다고 해서 전체가 고장나는 것은 아니다. 서로간에 independent하기 때문이다.
𝑅(𝑡)=Π𝑛𝑖=1𝑅𝑖(𝑡)
병렬이다.
1개만 동작해도 전체가 다 동작한다. 따라서 (1 - 모두 동작하지 않을 때)를 구하면 된다.
𝑅(𝑡)=1−Π𝑛𝑖=1(1−𝑅𝑖(𝑡))