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제 04강. 이산확률변수와 연속확률변수

Continuous Random Value. -> 셀 수 없는 ( uncountable 한 ) 것 을 말한다.
다르게 말하면 특정한 값에서 특정한 확률 값을 갖지 못한다.
결국 CDF에 대한 구간에 대한 확률만을 구할 수 있다.
$lim_{∆ x - > 0} P (x < X \leq x + ∆ x) = F_{X} (x + ∆ x) - F_{X} (x)$
$lim_{∆ x - > 0} P (x < X \leq x + ∆ x) = F_{X} (x + ∆ x) - F_{X} (x)$
이를 $∆ x$ 로 나누면
$lim_{∆ x - > 0} \frac{P (x < X \leq x + ∆ x)}{∆ x} = \frac{F_{X} (x + ∆ x) - F_{X} (x)}{∆ x} = F_{X}^{'} (x)$
$lim_{∆ x - > 0} \frac{P (x < X \leq x + ∆ x)}{∆ x} = \frac{F_{X} (x + ∆ x) - F_{X} (x)}{∆ x} = F_{X}^{'} (x)$
어디서 많이 본듯한 미분의 모양으로 바뀌게 된다.
이를 정리해보면 다음과 같다.
$lim_{∆ x - > 0} \frac{F_{X} (x + ∆ x) - F_{X} (x)}{∆ x}$
$lim_{∆ x - > 0} \frac{F_{X} (x + ∆ x) - F_{X} (x)}{∆ x}$
이를 PDF ( Probability density function ) 이라고 한다.
분자는 확률, 분모는 길이이다. 즉, "단위 길이당 확률", 밀도라고 한다.
그리고 다음의 식들을 만족해야 한다.
(1) $f_{X} (x) \geq 0$
$F_{X} (x)$ 는 증가하는 함수이다.
$F_{X}^{'} (x) = f_{X} (x)$ 이다. 이는 기울기이다. 증가함수의 기울기이기에 양수 값을 가지는 것이다.

(2) $\int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) d x = 1$
위 두 가지 식을 동시에 만족시켜야 PDF가 되는 것이다.

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