728x90

제 05강. 확률변수의 평균과 분산

Moments of Random Variables

$\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{N}}{N}$

$\bar{X} = \frac{w_{1} X_{1} + w_{2} X_{2} + \dots + w_{N} X_{N}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{N}}$

$P_{K} (k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ 이를 Poisson distribution(포아송 분포)라고 한다.

$P_{K} (k) = k \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ 는 Taylor Series라고 하는데 이는 다음을 말한다.

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0) x^{k}}{k!}$ 와 같은데, 분자의 첫 번째는 f를 k번 미분한 것을 말한다.

간단한 공식으로는

$E [a x + b] = a E [x] + b$ 로 나온다는 것을 알면된다.

$E [(X - μ)^{2}] = σ_{x}^{2}$ 이는 분산과 같은데 식을 전개하면 다음과 같다.

$= E [X^{2}] - 2 \bar{X} E [X] + {\bar{X}}^{2}$

$E [X] = \bar{X}$ 이기 때문에

$= E [X^{2}] - {\bar{X}}^{2}$ 으로 정리된다.

$P_{K} (k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ 의 평균과 분산은 모두 $λ$ 이다.

$E [X^{2}] = λ^{2} + λ$ 로 나오기에 위의 식을 참고하면 분산을 구할 수 있다.

728x90