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제 06강. 조건부 평균

Geometric distribution

Random Value K : 1번 성공할때까지의 시행횟수.

$(K = 1) : P$ = 한 번만에 성공

$(K = 2) : (1 - P) P$ = 두 번만에 성공

$(K = 3) : (1 - P)^{2} P$ = 세 번만에 성공

이를 일반화 해보면 다음과 같다.

$P_{K} (k) = (1 - P)^{k - 1} P$

$\sum_{k = 1}^{\infty} P_{K} (k) = 1$ 이고

$\sum_{k = 1}^{\infty} (1 - P)^{k - 1} P$ 는 무한등비급수 공식을 사용하여

$\frac{P}{1 - (1 - P)} = 1$ 이 된다.

위의 평균을 구하면 다음과 같다.

$E [X] = \sum_{K = 1}^{\infty} K (1 - P)^{K - 1} P$

$\sum_{K = 1}^{\infty} (1 - P)^{K} = \frac{1 - P}{P}$ ( 무한등비급수 합 )

$\frac{d}{d p} \sum_{K = 1}^{\infty} (1 - P)^{K} = - \sum_{K = 1}^{\infty} K (1 - P)^{K - 1}$

이는 $\frac{1 - P}{P}$ 를 미분해보면 $- \frac{1}{P^{2}}$ 이 나오는 것을 알 수 있다.

따라서 $E [X] = \sum_{K = 1}^{\infty} K (1 - P)^{K - 1} P = P \times \frac{1}{P^{2}} = \frac{1}{P}$

$E [X] = \sum_{K = 1}^{\infty} K (1 - P)^{K - 1} P = P \times \frac{1}{P^{2}} = \frac{1}{P}$

그리고 이를 한 번 더 미분해준다.

$\frac{d}{d p} \sum_{K = 1}^{\infty} K (1 - P)^{K - 1} = - \sum_{K = 1}^{\infty} K (K - 1) (1 - P)^{K - 2} = - \frac{2}{P^{3}}$

$- \frac{1}{P^{2}}$ 를 미분해보면 알 수 있다.

참고로 분수미분은 다음과 같이 진행된다.

$(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{(g (x))^{2}}$

(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{(g (x))^{2}}

그래서 위의 식을 정리해서 오른편으로 넘기면 다음과 같다.

$\sum_{K = 1}^{\infty} K^{2} (1 - P)^{K - 1} = \sum_{K = 1}^{\infty} K (1 - P)^{K - 1} + \frac{2}{P^{3}} (1 - P)$

이를 풀어보면

$\frac{1}{P^{2}} + \frac{2}{P^{3}} - \frac{2}{P^{2}} = \frac{2}{P^{3}} - \frac{1}{P^{2}}$

$E [X^{2}] = \sum_{K = 1}^{\infty} K^{2} P (1 - P)^{K - 1} = \frac{2}{P^{2}} - \frac{1}{P^{1}}$

P가 곱해져서, P의 차수가 하나씩 줄었다.

$σ_{X}^{2} = E [X^{2}] - E [X]^{2} = \frac{2}{P^{2}} - \frac{1}{P} - \frac{1}{P^{2}}$

$= \frac{1}{P^{2}} - \frac{1}{P} = \frac{1 - P}{P^{2}}$

추가적으로 평균과 분산은 오차를 구하는데 있어서 매우 중요하다.

만약에 $f (x) = (x - a_{1})^{2}$ 라는 식이 있다고 봐보자.

이 식을 최소화하기 위한 x는 $a_{1}$ 이라는 것을 알 수 있다.

식이 하나 더 늘어난 $f (x) = (x - a_{1})^{2} + (x - a_{2})^{2}$ 의 경우에는

이 식을 최소화하기 위한 x는 $\frac{a_{1} + a_{2}}{2}$ 이다.

감이 오는가?

바로 변수들의 평균값이 결과를 최소화하게 만들어준다.

결국에는 식이 늘어남에따라 식을 최소화하기 위한 x는 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ 가 될 것이다.

이렇게 랜덤할 때는 평균값을 넣는 것이 분산을 줄여서 안전하게 만들어주는 것이다.

반면에 Median( 중간값 ) 을 이용해야하는 경우도 존재한다.

$g (x) = | x - a_{1} |$ 이라는 식을 보자.

처음에는 이 식을 최소화하기 위한 x는 $a_{1}$ 이라는 것을 알 수 있다.

식이 늘어난 $g (x) = | x - a_{1} | + | x - a_{2} |$ 의 경우에는 그래프가 평평하게 그려지는 부분이 생김을 알 수 있다.

아직까지는 평균값을 고르는 것이 괜찮다.

하지만 $g (x) = | x - a_{1} | + | x - a_{2} | + | x - a_{3} |$ 의 경우에는 중간값 부분이 뾰족하게 그려진 그래프가 형성된다.

여기서는 식을 최소화하는 x는 평균이 아니라 중간값인 $a_{2}$ 가 되는 것이다.

Conditional Expectations

확률에 조건이 붙어서 다음과 같이 표시된다.

$E [X | A]$

discrete할 때는, $\sum_{x_{i} \in A} x_{i} P (x_{i} | A)$ 로 표현이 된다.

continuous할 때는, $\int_{x_{i} \in A} x f_{X} (x | A) d x$ 로 표현된다.

간단하게 하나의 예를 보자.

$A = {X \leq a}$ 구간에 해당하는 확률을 구하려고 한다.

$f_{X} (x | A) = \frac{d}{d x} F_{X} (x | A) = \frac{d}{d x} P (X \leq x | A) = \frac{\frac{d}{d x} P (X \leq x \cap A)}{P (A)} = \frac{\frac{d}{d x} P (X \leq a \cap X \leq x)}{P (X \leq a)}$

여기서 두 가지의 경우로 분리가 된다.

(i) $x > a$ 일 때,

$\frac{d}{d x} \frac{P (X \leq a)}{P (X \leq a)} = 0$

1을 미분하는 꼴이 되서 0이 된다.

(2) $x \leq a$ 일 때,

$\frac{d}{d x} \frac{P (X \leq x)}{P (X \leq a)} = \frac{f_{X} (x)}{F_{X} (a)}$

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저작자표시

[KOCW 확률통계] 06강. 조건부 평균

제 06강. 조건부 평균

Geometric distribution

$(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{(g (x))^{2}}$

Conditional Expectations

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제 06강. 조건부 평균

Geometric distribution

(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)(𝑔(𝑥))2

Conditional Expectations

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$(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{(g (x))^{2}}$