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제10강. 벡터의 직교성과 직선투영

Orthogonality ( 직교성 )

사선을 $| | x | |^{2} + | | y | |^{2} = | | x - y | |^{2}$ 으로 표현할 수 있다.

위 식을 풀어보면 다음과 같다

^{}^{}^{}

^{}^{}^{}^{}

^{}^{}

=> $x^{T} y$ ( 결국 내적이다 )

$x^{T} y = 0$ 은 "수직"이라는 것을 말한다. ( 벡터 내적의 결과 )

-> Linearly independent ( Linear combination 했을 때, 모든 계수가 0이어야 영벡터가 될 떄 )

If nonzero vectors $V_{1}, V_{2}, \dots, V_{k}$ are mutually orthogonal -> then the vectors are independent

$C_{1} V_{1} + C_{2} V_{2} + \dots + C_{k} V_{k} = 0$

for any $V_{i}, V_{i}^{T}$ = $C_{i} | | V_{i} | |^{2} = 0$

C를 쉽게 G.E없이 구할 수 있다.

-> Every vector in one subspace must be orthogonal to every vector in the subspace

$v \in V, w \in W$ 일 때, (in $R^{n}$ )

$v^{T} w = 0$ for all of $v$ and $w$

$v, w$ 는 직교한다는 것이다.

여기서 Dim(v)+Dim(w)=n 이라면 " Orthogonal Complete Subspace " 라고 한다.

$V \in R^{n}$ , the space of all vectors orthogonal to $V$ is called the " Orthogonal Complete Subspace " of $V$

Dim of Vector Space = number of independent vectors to span the Vector Space = rank of A (=r)

( r + ( n-r ) = n(col) )

( r + ( m-r ) = m(row) )

벡터 b가 a에 수선의 발을 내리는 것을 " projection b onto a " 라고 한다.

$(b - \hat{p} a) ⊥ a$ => $a^{T} (b - \hat{p} a) = 0$

$\hat{p} = \frac{a^{T} b}{a^{T} a}$

제 2 코사인 법칙에 따라서 다음과 같이 전개된다.

^{}^{}^{}

^{}^{}^{}

^{}

결국 내적을 통해 Projection과 같은 결과를 얻을 수 있다.

수선의 발은 $\hat{p} a$ 이다. 이를 수정해 보면

$\hat{p} = \frac{a^{T} b}{a^{T} a} a$

$= \hat{p} = \frac{a a^{T}}{a^{T} a} b$ 가 된다.

\frac{^{}}{^{}}

이를 Projection Matrix라고 한다.

p를 구하기 위해서는 $\hat{p} = \frac{a a^{T}}{a^{T} a}$ 에 투영하고자 하는 vector "b"를 곱하면 된다.

\frac{^{}}{^{}}

이는 다음과 같은 행렬로 표현할 수 있다.

\begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix} ^{} \\ ^{} \end{matrix}

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