📗강의노트/KOCW 선형대수

    [KOCW 선형대수] 11강. 벡터투영과 최소제곱법
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    [KOCW 선형대수] 11강. 벡터투영과 최소제곱법

    제 11강. 벡터투영과 최소제곱법 (b−x̂ a)⊥a = (b−x̂ A)⊥A=> AT(b−x̂ A)=0ATb−ATAx̂ =0ATb=ATAx̂ x̂ =(ATA)−1ATbℙ=Ax̂ =A(ATA)−1ATb투영의 개념과 최소제곱법의 개념이 한 번에 다 들어가있다.Projections and Least SquaresFor more equations than the unknowns, there is usually no solution.=> Overconstrained cases ( mxn matrix ( m > n ) )How to find an optimal Solution ? => minimizing errors ||Ax−b||2=E2 ( 거리의 개념으로 다가가기 )Least square solution of ..

    [KOCW 선형대수] 10강. 벡터의 직교성과 직선투영
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    [KOCW 선형대수] 10강. 벡터의 직교성과 직선투영

    제10강. 벡터의 직교성과 직선투영Orthogonality ( 직교성 )Orthogonal vectors and subspacesorthogonality -> independent basis, easy calculationcoordinate axes are orthogonalthe fundamental subspaces meet at right angleslength of vector : ||x||2=∑ni=1x2i=xTxfor a right angle 사선을 ||x||2+||y||2=||x−y||2으로 표현할 수 있다.위 식을 풀어보면 다음과 같다xTx+yTy=(x−y)T(x−y)=xTx−yTx−xTy+yTyxTy=yTx=0=> xTy ( 결국 내적이다 )xTy=0은 "수직"이라는 것을 말한다. ( 벡..

    [KOCW 선형대수] 9강. 선형변환과 행렬
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    [KOCW 선형대수] 9강. 선형변환과 행렬

    제 9강. 선형변환과 행렬Linear TransformationsAx=bb is a linear combination of column vectors of A with coefficient in xx is transformed(mapped) into b by AStretching ( Extending or Contracting )A=[C00C]90 degree rotationA=[0−1−10]Reflection by x2=x1 ( y=x대칭)A=[0110]Projection into x ( 수선의 발 )A=[1000]Am×n 일 떼, ℝn->ℝm으로 만드는 과정이다. ( Transform )Ex) differentiation ddt of polynomial ( 다항식 )x(t)=a0+a1t+a2t2+⋯+..

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    [KOCW 선형대수] 8강. 벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간

    제 8강. 벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간If, given linearly vectors -> linear combination => unique ( 조합은 딱 1가지이다 )basis is a maximal independent set / minimal spanning set4 Fundamental subspaces in AHow to find an explicit basis -> a systematic procedure(1) Column spaceℂ(A) -> linear combination of column vectors ⊂ℝm(2) Null space : N(A), {x|Ax=0} ⊂ℝn(3) Row space : ℂ(AT) => linear combination of row vectors ⊂..

    [KOCW 선형대수] 7강. 벡터의 선형독립과 기저벡터
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    [KOCW 선형대수] 7강. 벡터의 선형독립과 기저벡터

    제 7강. 벡터의 선형독립과 기저벡터~이어서Ax=b(≠0) 일 때, ⎡⎣⎢⎢1 2 −136−3393274⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢u v w z⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢b1 b2 b3⎤⎦⎥⎥ 첫 번째 G.E를 하면 ⎡⎣⎢⎢⎢1 0 0300336236⋮⋮⋮b1b2−2b1b1+b3⎤⎦⎥⎥⎥ 그리고 3번째식을 다 0으로 만들어주면 ⎡⎣⎢⎢⎢1 0 0300330230⋮⋮⋮b1b2−2b1b3−2b2+5b1⎤⎦⎥⎥⎥ b3−2b2+5b1=0 -> Solution이 종재한다.Ax=b b∈ℂ(A)(linear combination이고) / column vector A에 존재해야한다. Coulmn vector들의 조합이 평면위의 점이 되야한다. b=⎡⎣⎢⎢1 2 −1⎤⎦⎥⎥ Column space = 3개의 숫자는 평면의 점이다.-> ..

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    [KOCW 선형대수] 6강. 영벡터공간과 해집합

    제 6강. 영벡터공간과 해집합Vector Space= Set of vectors in ℝn(1) Closed under addition ( 덧셈이 가능하다 )V1∈𝕍,V2∈𝕍V1+V2∈𝕍(2) Closed under scalar multiplication ( 스칼라곱이 가능하다 )V∈𝕍,c∈ℝcV∈𝕍(3) 𝕍 includes the zerovector( 원점 )𝕍={0}Column space of A= Set of all linear combinations of column vectors in A{x|x=∑i=1nciai} A=[a1,a2,⋯,an] Ax=b x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1 x2 ⋮ xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥x1a1+x2a2+⋯+xnan=bif, b∈ℂ(A) -> there are solutions ( 1개 이..

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