📗강의노트/KOCW 확률과 통계
[KOCW 확률통계] 06강. 조건부 평균
제 06강. 조건부 평균Geometric distribution Random Value K : 1번 성공할때까지의 시행횟수.(𝐾=1):𝑃 = 한 번만에 성공(𝐾=2):(1−𝑃)𝑃 = 두 번만에 성공(𝐾=3):(1−𝑃)2𝑃 = 세 번만에 성공 이를 일반화 해보면 다음과 같다. 𝑃𝐾(𝑘)=(1−𝑃)𝑘−1𝑃 ∑∞𝑘=1𝑃𝐾(𝑘)=1이고∑∞𝑘=1(1−𝑃)𝑘−1𝑃는 무한등비급수 공식을 사용하여 𝑃1−(1−𝑃)=1이 된다. 위의 평균을 구하면 다음과 같다. 𝐸[𝑋]=∑∞𝐾=1𝐾(1−𝑃)𝐾−1𝑃 ∑∞𝐾=1(1−𝑃)𝐾=1−𝑃𝑃 ( 무한등비급수 합 ) 𝑑𝑑𝑝∑∞𝐾=1(1−𝑃)𝐾=−∑∞𝐾=1𝐾(1−𝑃)𝐾−1 이는 1−𝑃𝑃를 미분해보면 −1𝑃2이 나오는 것을 알 수 있다. 따라서 𝐸[𝑋]=∑∞𝐾=1𝐾(1−𝑃)𝐾−1𝑃=𝑃×1𝑃..
[KOCW 확률통계] 05강. 확률변수의 평균과 분산
제 05강. 확률변수의 평균과 분산 Moments of Random Variables Arithmetic average( 산술평균 )𝑋¯=𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑁𝑁 for different frequencies 𝑋¯=𝑤1𝑋1+𝑤2𝑋2+⋯+𝑤𝑁𝑋𝑁𝑤1+𝑤2+⋯+𝑤𝑁 𝑃𝐾(𝑘)=𝜆𝑘𝑘!𝑒−𝜆 이를 Poisson distribution(포아송 분포)라고 한다.𝑃𝐾(𝑘)=𝑘𝜆𝑘𝑘!𝑒−𝜆는 Taylor Series라고 하는데 이는 다음을 말한다.∑∞𝑘=0𝑓(𝑘)(0)𝑥𝑘𝑘!와 같은데, 분자의 첫 번째는 f를 k번 미분한 것을 말한다.간단한 공식으로는𝐸[𝑎𝑥+𝑏]=𝑎𝐸[𝑥]+𝑏로 나온다는 것을 알면된다. 𝐸[(𝑋−𝜇)2]=𝜎2𝑥 이는 분산과 같은데 식을 전개하면 다음과 같다.=𝐸[𝑋2]−2𝑋¯𝐸[𝑋]+𝑋¯2 𝐸[𝑋]=𝑋..
[KOCW 확률통계] 04강. 이산확률변수와 연속확률변수
제 04강. 이산확률변수와 연속확률변수 Continuous Random Value. -> 셀 수 없는 ( uncountable 한 ) 것 을 말한다.다르게 말하면 특정한 값에서 특정한 확률 값을 갖지 못한다.결국 CDF에 대한 구간에 대한 확률만을 구할 수 있다.lim∆𝑥−>0𝑃(𝑥 이를 ∆𝑥로 나누면lim∆𝑥−>0𝑃(𝑥 어디서 많이 본듯한 미분의 모양으로 바뀌게 된다.이를 정리해보면 다음과 같다.lim∆𝑥−>0𝐹𝑋(𝑥+∆𝑥)−𝐹𝑋(𝑥)∆𝑥 이를 PDF ( Probability density function ) 이라고 한다.분자는 확률, 분모는 길이이다. 즉, "단위 길이당 확률", 밀도라고 한다.그리고 다음의 식들을 만족해야 한다.(1) 𝑓𝑋(𝑥)≥0𝐹𝑋(𝑥) 는 증가하는 함수이다.𝐹′𝑋(𝑥)=𝑓𝑋(𝑥..
[KOCW 확률통계] 03강. 확률변수의 정의
제 03. 확률변수의 정의 랜덤한 실험을 통해 나온 결과를 실수값(real value)에 mapping한 것을 R.V(확률변수)라고 한다.관습 상, 확률변수는 대문자로 / 실수 값은 소문자로 표기한다. Probability assignment𝑃(𝑋≤𝑥)=𝑃({𝑤|𝑋(𝑤)≤𝑥}) 𝑃(𝑋>𝑥)=1−𝑃(𝑋≤𝑥) 위는 기본적이면서도 유용하게 쓰이는 법칙이다.Distribution FunctionsCumulative Distribution Function ( CDF, 누적확률분포 ) 𝐹𝑋(𝑥)=𝑃[𝑋≤𝑥]=𝑃({𝑤|𝑋(𝑤)≥𝑥}) (1) if 𝑥1𝐹(𝑥1)≤𝐹(𝑥2) (2) 0≤𝐹𝑋(𝑥)≤1 (3) 𝐹𝑋(∞)=1 (4) 𝐹𝑋(−∞)=0 (5) 𝑃[𝑎𝑃[𝑋>𝑎]=1−𝐹𝑋(𝑎) Discrete Random Varia..
[KOCW 확률통계] 02강. 독립사건과 확률
제 02강. 독립사건과 확률 독립사건이란 말 그대로 서로가 영향을 미치지 않는 독자적인 존재라는 것이다.따라서 다음 식이 성립하게 되는 것이다.𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴)& 𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) Combinatorial Analysisline arrangement(순서 고려) of n different objects Permutation ( 순열 )𝑛𝑃𝑟=𝑛!𝑛!(𝑛−𝑟)! => 𝑟 out if 𝑛 objects 0!=1 나열하지 않는다는 것이다.중복되는 것을 나열할 때는 다음과 같이 구할 수 있다.𝑁𝑘=𝑛!𝑛1!𝑛2!⋯𝑛𝑘! Combiantions𝑛𝐶𝑟=(𝑛𝑟)=𝑛𝑃𝑟𝑟!=𝑛!(𝑛−𝑟)!𝑟!=𝑛𝐶𝑛−𝑟 이항일 때,(𝑛+𝑚𝑘)=∑𝑘𝑖=0(𝑛𝑖)(𝑚𝑘−𝑖) 위의 식으로 일반화하여 나타..
![[KOCW 확률통계] 01강. 조건부확률과 Bayes 정리](https://img1.daumcdn.net/thumb/R750x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Ft1.daumcdn.net%2Fcfile%2Ftistory%2F996205505CA20B930D)
[KOCW 확률통계] 01강. 조건부확률과 Bayes 정리
제 01강. 조건부확률과 Bayes 정리 기본적인 확률과 통계에 대한 지식을 짚어보고 시작해보자.(1) Sample Space -> S(set) (2) Event(A) : 𝐴⊂𝑆 𝑃(𝐴) : A가 발생할 확률을 말한다. (3) Conditional Probabilities 베이지안, 조건부 확률이다.𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵∩𝐴)𝑃(𝐴)=𝑃((𝐵∩𝐴)|𝑆)𝑃(𝐴|𝑆) A가 조건으로 있을 때, B가 발생할 확률을 말한다.S는 subspace라 굳이 표기하지 않고 중간 과정만 사용한다. (4) Total Probability 𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋯+𝑃(𝐴𝑛) : 서로 겹치지 않는 "배반사건"들의 합이다.{𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴𝑛} : partition of "A" 𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴1∩𝐴)=𝑃(𝐴|𝐴1)𝑃(𝐴1..